\documentclass[12pt,aerer,annales]{profmath}


\begin{document}

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\textbf{SESSION 2005}
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\begin{center}
{\taille{18}\textbf{BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE}}

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{\taille{18}\textbf{SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES}}

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{\taille{15}\textbf{GENIE DES MATÉRIAUX}}

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{\taille{15}\textbf{GENIE MECANIQUE B, C, D, E}}

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{\taille{15}\textbf{MATHEMATIQUES}}

\end{center} 

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\textbf{Durée de l'épreuve : 4 heures}\hfil
\textbf{Coefficient : 4}

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\textbf{Séries STI}

~~~~~\textbf{- Génie mécanique options :}\par
~~~~~~~~~\textbf{Systèmes Motorisés (B), Structures Métalliques (C),}\par
~~~~~~~~~\textbf{Bois et Matériaux Associés (D), Matériaux Souples (E),}\par
~~~~~\textbf{- Génie des Matériaux.}

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\textbf{Dès que le sujet vous est remis assurez vous qu'il est complet, que toutes les pages sont imprimées.}

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\textbf{L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.}\\
\textbf{Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.}\\
\textbf{Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.}

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\textbf{Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.}\\
\textbf{Le sujet nécessite une feuille de papier millimétré.}

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\begin{center}
\textbf{Ce sujet comporte 3 pages (y compris celle-ci).}

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\textbf{1/3}

\end{center}

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\exer{5 points}
Tous les résultats demandés seront justifiés.

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Soit le nombre complexe 
$z_1 = 3\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$.
On pose :

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$z_2 = \overline{z_1}$, où $\overline{z_1}$ désigne le nombre complexe conjugué de $z_1$,

\medskip
$z_3 = -z_1$,

\medskip
$z_4=z_1\e^{\frac{2\mathrm{i}\pi}{3}}$.

\medskip
\qst Déterminer la forme algébrique des nombres complexes $z_1$, $z_2$ et $z_3$.
\qst Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_2$ et $z_3$.

\qstssq Montrer que 
$z_4 = 3\e^{\frac{5\mathrm{i}\pi}{6}}$.
\ssq En déduire le module et un argument du nombre complexe $z_4$.
\ssq Quelle est la forme algébrique de $z_4$ ?

\qst Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \roncom (unité graphique : 2 cm).\\
On considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives $z_1$, $z_2$, $z_3$ et $z_4$.

\medskip
\ssq Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. Construire ce cercle.
\ssq Construire les points $A$, $B$, $C$ et $D$ en utilisant leurs ordonnées.
\ssq Calculer les distances $AC$ et $BD$.
\ssq Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?


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\exer{4 points}

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\qst Résoudre l'équation différentielle : $9 y''+y=0$.

\medskip
\qst Déterminer la solution $f$ de cette équation différentielle vérifiant les conditions initiales :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
f(0)=\sqrt{3}
\\
f'(0)=-\dfrac{1}{3}
\end{array}
\right.
\]

\medskip
\qstssq Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on peut écrire :
$f(x) = 2\cos\left(\dfrac{x}{3}+\dfrac{\pi}{6}\right)$.
\ssq Résoudre, dans l'ensemble des nombres réels, l'équation $f(x)=-\sqrt{2}$.

\medskip
\qst Calculer la valeur moyenne $m$ de $f$ sur l'intervalle $[0\,;\,\pi]$.


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\centerline{\textbf{2/3}}

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\pb{11 points}
Soit $f$ la fonction numérique définie, pour tout nombre réel $x$, par :
$f(x) = \dfrac{1}{2}\,\e^{2x}+\e^{x}-2x$.

On note $C$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \ron (unité graphique : 2 cm).

\qst Comportement de $f$ en $-\infty$.
\ssq Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
\ssq Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=-2x$ est une asymptote oblique à la courbe $C$.
\ssq \'Etudier les positions relatives de la courbe $C$ et de la droite $\Delta$.

\qst Comportement de $f$ en $+\infty$.
\ssq Montrer que, pour tout nombre réel $x$ différent de 0, on peut écrire :
\[
f(x) = x\left(\dfrac{\e^{2x}}{2x}+\dfrac{\e^{x}}{x}-2\right).
\]
\ssq En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.

\qst \'Etude des variations de $f$.
\ssq Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ et vérifier que l'on a pour tout nombre réel $x$,
\[
f'(x)=\left(\e^{x}+2\right)\left(\e^{x}-1\right).
\]
\ssq \'Etudier le signe de $f'(x)$, lorsque $x$ décrit l'ensemble des nombres réels.
\ssq Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.

\qst Tracer la droite $\Delta$ et la courbe $C$ dans le repère \ron.

\qst Calcul d'une aire.\\
Soit $\alpha$ un nombre réel strictement négatif.
\ssq Hachurer la partie H du plan limitée par la courbe $C$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x=\alpha$ et $x=0$.
\ssq Calculer, en fonction de $\alpha$ et en unités d'aire la valeur de l'aire de la partie H, que l'on notera~$A(\alpha)$.
\ssq Déterminer la limite de $A(\alpha)$ quand $\alpha$ tend vers $-\infty$. Interpréter le résultat obtenu.


\vfill
\centerline{\textbf{3/3}}


\end{document}